Что такое интеграл и зачем мне знать это. Конспект урока "применение интеграла"

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: Интеграл и его применение в жизни человека.
Цель: изучение и использование интеграла в деятельности человека. Задачи: узнать что такое интеграл; выявить все сферы деятельности человека где применяется интеграл;выяснить какое значение интеграл занимает в жизни человека. Ученый, создавший интеграл.Евдокс Книдский. Дал полное доказательство теоремы об объёме пирамиды; теоремы о том, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. При доказательстве он использовал так называемый метод «исчерпывания» их радиусов. Через две тысячи лет метод «исчерпывания» был преобразован в метод интегрирования. Что такое интеграл? Интеграл (от лат.Integer – целый) –интегралом называется величина, обратная дифференциалу функции. Многие физические и другие задачи сводятся к решению сложных дифференциальных или интегральных уравнений. Для этого необходимо знать, что представляют собой дифференциальное и интегральное исчисление.𝑓𝑥𝑑𝑥 Символ  введен Готфрид Лейбницем (1675г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Якоб Бернулли (1690 г.). Оно происходит от латинского integro, которое переводится как восстанавливать. Я. БернуллиГ. Лейбниц Применение интеграла. В геометрии.Площадь плоской фигуры.Определение: Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции 𝑓(𝑥), осью абсцисс и прямыми 𝑥=𝑎, 𝑥=𝑏, называется криволинейной трапецией.Теорема. Если 𝑓(𝑥) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [𝑎;𝑏], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна определенному интегралу на этом отрезке.𝑆 =𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥= 𝐹(𝑏)–𝐹(𝑎) Объем фигур вращения.Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.Функция 𝑆(𝑥)𝑓(𝑥) фигуры вращения есть круг.𝑆сеч = 𝑟2 Sсеч(𝑥)=𝜋𝑓 2(𝑥)𝑉= 𝑎𝑏𝑓 2(𝑥)𝑑𝑥 В физике.Координаты центра масс.Центр масс – точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела. Пусть материальная однородная пластина имеет форму криволинейной трапеции 𝑥;𝑦 𝑎≤𝑥≤𝑏; 0≤𝑦≤𝑓(𝑥)} и функция 𝑦=𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎;𝑏], а площадь этой криволинейной трапеции равна 𝑆, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:𝑥0 = 1𝑆 𝑎𝑏𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥; 𝑦0 = 12𝑆 𝑎𝑏𝑓 2(𝑥) 𝑑𝑥; Работа силы 𝐴=𝐹𝑆𝑐𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑠 1. Если на частицу действует сила 𝐹, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно𝑑(𝑚2/2) = 𝐹𝑑𝑠приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению 𝐹𝑑𝑠, где 𝑑𝑠 – перемещение частицы за время 𝑑𝑡. Величина𝑑𝐴=𝐹𝑑𝑠называется работой, совершаемой силой F.А = 𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥 Путь, пройденный материальной точкой.Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью 𝑣=𝑣(𝑡) и за время 𝑇= 𝑡2–𝑡1 (𝑡2>𝑡1) прошла путь 𝑆, то 𝑆=𝑡1𝑡2𝑣(𝑡)𝑑𝑡. В экономикеВ курсе микроэкономики часто рассматривают так называемые предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией 𝑦 =𝑓(𝑥), рассматривают ее производную 𝑓′(𝑥). Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара 𝐶= 𝐶(𝑞), то предельные издержки будут за­даваться производной этой функции МС=С′(q). Ее экономический смысл – это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функ­цию издержек по данной функции предельных издержек. В биологииСредняя длина пролета.Нас интересует средняя длина пролета. Так как круг симметричен относительно любого своего диамет­ра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые ле­тят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета - это среднее расстоя­ние между дугами АСВ и 𝐴𝐶1𝐵. Иными словами, это среднее зна­чение функции 𝑓1𝑥−𝑓2𝑥, где 𝑦=𝑓1𝑥 – уравнение верхней дуги, а 𝑦=𝑓2𝑥 уравнение нижней дуги, т. е.𝐿=𝑎𝑏𝑓1𝑥−𝑓2𝑥𝑑𝑥𝑏−𝑎 Так как 𝑎𝑏𝑓1𝑥𝑑𝑥 равен площади криволинейной трапеции аАСВb, 𝑎𝑏𝑓2𝑥𝑑𝑥 равен площади криволинейной трапеции аА𝐶1Вb, то их разность равна площади круга, т. е. 𝜋𝑅2. Разность 𝑏−а равна 2R. Подставив это в 𝐿=𝑎𝑏𝑓1𝑥−𝑓2𝑥𝑑𝑥𝑏−𝑎 , получим: 𝐿=𝜋𝑅22𝑅=𝜋2𝑅

Сведения из истории появления производной:Лозунгом многих математиков XVII в. был: «Двигайтесь вперёд, и вера в правильность результатов к вам
придёт».
Термин «производная» - (франц. deriveе - позади, за) ввёл в 1797 г. Ж. Лагранж. Он же ввёл
современные обозначения y " , f ‘.
обозначение lim –сокращение латинского слова limes (межа, граница). Термин «предел» ввёл И. Ньютон.
И. Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию - флюентой.
Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную так:
Лагранж Жозеф Луи (1736-1813)
французский математик и механик

Ньютон:

« Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот
явился Ньютон.» А.Поуг.
Исаак Ньютон (1643-1727) один из создателей
дифференциального исчисления.
Главный его труд- «Математические начала
натуральной философии»-оказал колоссальное
влияние на развитие естествознания, стал
поворотным пунктом в истории естествознания.
Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы
механики, тем самым раскрыл её механический
смысл.

Что называется производной функции?

Производной функции в данной точке называется предел
отношения приращения функции в этой точке к
приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю.

Физический смысл производной.

Скорость есть производная от пути по времени:
v(t) = S′(t)
Ускорение есть производная
скорости по времени:
a(t) = v′(t) = S′′(t)

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной к графику
функции равен производной этой функции,
вычисленной в точке касания.
f′(x) = k = tga

Производная в электротехнике:

В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает
электрический ток. Под электрическим током понимают
направленное движение свободных электрически заряженных
частиц.
Количественной характеристикой электрического тока является сила
тока.
В
цепи электрического тока электрический заряд меняется с
течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная
заряда q по времени.
В электротехнике в основном используется работа переменного тока.
Электрический ток, изменяющийся со временем, называют
переменным. Цепь переменного тока может содержать различные
элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.
Получение переменного электрического тока основано на законе
электромагнитной индукции, формулировка которого содержит
производную магнитного потока.

Производная в химии:

◦ И в химии нашло широкое применение дифференциальное
исчисление для построения математических моделей химических
реакций и последующего описания их свойств.
◦ Химия – это наука о веществах, о химических превращениях
веществ.
◦ Химия изучает закономерности протекания различных реакций.
◦ Скоростью химической реакции называется изменение
концентрации реагирующих веществ в единицу времени.
◦ Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе
процесса, ее обычно выражают производной концентрации
реагирующих веществ по времени.

Производная в географии:

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения
пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t), . Модель
Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860
годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

Интеграл и его применение:

Немного из истории:

История понятия интеграла уходит корнями
к математикам Древней Греции и Древнего
Рима.
Известны работы учёного Древней Греции Евдокса Книдского (ок.408-ок.355 до н.э.) на
нахождение объёмов тел и вычисления
площадей плоских фигур.

Большое распространение интегральное исчисление получило в XVII веке. Учёные:
Г. Лейбниц (1646-1716) и И. Ньютон (1643-1727) открыли независимо друг от
друга и практически одновременно формулу, названную в последствии формулой
Ньютона - Лейбница, которой мы пользуемся. То, что математическую формулу
вывели философ и физик никого не удивляет, ведь математика-язык, на котором
говорит сама природа.

Символ введен
Лейбницем (1675 г.). Этот знак является
изменением латинской буквы S
(первой буквы слова сумма). Само слово интеграл
придумал
Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от
латинского integero, которое переводится как
приводить в прежнее состояние, восстанавливать.
Пределы интегрирования указал уже Л.Эйлер
(1707-1783). В 1697 году появилось название
новой ветви математики - интегральное
исчисление. Его ввёл Бернулли.

В математическом анализе интегралом функции называют
расширение понятия суммы. Процесс нахождения интеграла
называется интегрированием. Этот процесс обычно используется при
нахождений таких величин как площадь, объём, масса, смещение и т.
д., когда задана скорость или распределение изменений этой величины
по отношению к некоторой другой величине (положение, время и т. д.).

Что такое интеграл?

Интеграл - одно из важнейших понятий математического анализа, которое
возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при
неравномерном движении, массы неоднородного тела, и т. п., а также в задаче о
восстановлении функции по её производной

Ученые стараются все физические
явления выразить в виде
математической формулы. Как
только у нас есть формула, дальше
уже можно при помощи нее
посчитать что угодно. А интеграл
- это один из основных
инструментов работы с
функциями.

Методы интегрирования:

1.Табличный.
2.Сведение к табличному преобразованием подынтегрального
выражения в сумму или разность.
3.Интегрирование с помощью замены переменной (подстановкой).
4.Интегрирование по частям.

Применение интеграла:

◦ Математика
◦ Вычисления S фигур.
◦ Длина дуги кривой.
◦ V тела на S параллельных
сечений.
◦ V тела вращения и т.д
Физика
Работа А переменной силы.
S – (путь) перемещения.
Вычисление массы.
Вычисление момента инерции линии,
круга, цилиндра.
◦ Вычисление координаты центра
тяжести.
◦ Количество теплоты и т.д.
◦
◦
◦
◦

Понятие интеграла широко применимо в жизни. Интегралы применяется в различных областях науки и техники. Основными задачами, вычисляемыми с помощью интегралов являются задачи на:

1. Нахождение объема тела

2. Нахождение центра масс тела.

Рассмотрим каждую из них более подробно. Здесь и далее, для обозначения определенного интеграла от некоторой функции f(x), с пределами интегрирования от a до b, будем использовать следующую запись ∫ a b f(x) .

Нахождение объема тела

Рассмотрим следующий рисунок. Допустим, имеется некоторое тело, объем которого равен V. Так же имеется прямая такая, что если мы возьмем некоторую плоскость, перпендикулярную этой прямой, на будет известна площадь сечения S данного тела этой плоскостью.

Каждая такая плоскость будет перпендикуляра оси Ох, а следовательно будет пересекать её в некоторой точке х. То есть каждой точке х, из отрезка будет поставлена в соответствие число S(x) - площадь сечения тела плоскость проходящей через эту точку.

Получается, на отрезке будет задана некоторая функция S(x). Если эта функция будет непрерывна на этом отрезке, то будет справедлива следующая формула:

V = ∫ a b S(x)dx.

Доказательство этого утверждения выходит за рамки программы школьного курса.

Вычисление центра масс тела

Центр масс чаще всего используется в физике. Например, есть некоторое тело которое движется с какой-либо скорость. Но большое тело рассматривать неудобно, и поэтому в физике рассматривается это тело, как движение точки, в предположении, что эта точка имеет такую же массу, как и все тело.

А задача вычисления цетра масс тела, является основной в этом вопросе. Потому как тело-то большое, и какую именно точку надо взять за центр масс? Может быть ту, которая находится в середине тела? Или может саму ближнюю точку к переднему краю? Тут приходит на помощь интегрирование.

Для нахождения центра масс используется следующие два правила:

1. Координата x’ центра масс некоторой системы материальных точек A1, A2,A3, … An с массами m1,m2,m3, … mn соответственно расположенных на прямой в точках с координатами x1, x2, x3, … xn находится последующей формуле:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть рассматриваемой фигуры заменить на материальную точку, при этом поместив ее в центр масс этой отдельной части фигуры, а массу взять равную массе этой части фигуры.

Например, если вдоль стержня - отрезка оси Ох распределена масса плотностью p(x), где p(x) есть непрерывная функция, то координата центра масс x’ будет равняться.

Тема исследования

Применение интегрального исчисления в планировании расходов семьи

Актуальность проблемы

Все чаще в социальных и экономических сферах при вычислении степени неравенства в распределении доходов используется математика, а именно, интегральное исчисление. Изучая практическое применение интеграла мы узнаем:

• Как интеграл и вычисление площади с помощью интеграла помогает в распределении материальных затрат?

• Как интеграл поможет в накоплении денег на отпуск.

Цель

спланировать расходы семьи с использованием интегрального вычисления

Задачи

• Изучить геометрический смысл интеграла.
• Рассмотреть методы интегрирования в социальной и экономической сферах жизни.
• Составить прогноз материальных затрат семьи при ремонте квартиры с использованием интеграла.
• Рассчитать объем потребления энергии семьи на год с учетом интегрального исчисления.
• Расчитать сумму накопительного вклада в Сбербанк на отпуск.

Гипотеза

интегральное исчисление помогает в экономичных расчетах при планировании доходов и расходов семьи.

Этапы исследования

• Изучили геометрический смысл интеграла и методы интегрирования в социальной и экономической сферах жизни.
• Произвели расчет материальных затрат, необходимых при ремонте квартиры с помощью интеграла.
• Расчитали объем потребления электроэнегрии в квартире и затраты на электроэнергию семьи на год.
• Рассмотрели один из вариантов полонения доходов семьи через вклады в Сбербанк с помощью интеграла.

Объект исследования

инегральное исчисление в социальной и экономических сферах жизни.

Методы

• Анализ литературы по теме "Практическое применение интгрального исчисления"
• Изучение методов интегрирования при решении задач на вычисление площадей и объемов фигур с помощью интеграла.
• Анализ расходов и доходов семьи с помощью интегрального вычисления.

Ход работы

• Обзор литературы по теме "Практическое применение интегрального исчисления"
• Решение системы задач на вычисление площадей и объемов фигур с помощью интеграла.
• Расчет расходов и доходов семьи с помощью интегрального вычисления: ремонт комнаты, объем электроэнергии, вклады в Сбербанк на отпуск.

Наши результаты

Как интеграл и вычисление объема с помощью интеграла помогает в прогнозировании объемов потребления электроэнергии?

Выводы

• Экономический расчет необходимых средств при ремонте квартиры можно быстрее и более точно выполнить с помощью интегрального вычисления.

• Расход объемов электроэнергии семьи легче и быстрее рассчитать с помощью интегрального вычисления и программы Microsoft Office Excel, а значит прогнозировать затраты семьи на оплату электроэнергии на год.

• Прибыль от вкладов в сбербанк можно рассчитать с помощью интегрального вычисления, значит спланировать отпуск семьи.

Список ресурсов

Печатные издания:

• Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А.Г. Мордкович. Мнемозина. М: 2007
• Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А. Колмогоров Просвещение. М: 2007
• Математика для социологов и экономистов. Ахтямов А.М. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.
• Интегральное вычисление.Справочник по Высшей Математике М. Я. Выгодского, Просвещение, 2000

Представьте, что у нас есть какая-то функция зависимости чего-то от чего-то.

Например, вот так примерно можно на графике представить скорость моей работы в зависимости от времени суток:

Скорость я измеряю в строках кода в минуту, в реальной жизни я программист.

Объем работы - это скорость работы умножить на время. То есть если я пишу 3 строки в минуту, то в час получается 180. Если у нас есть такой график, можно узнать, сколько работы я сделал за день: это площадь под графиком. Но как это посчитать?

Разделим график на столбики равной ширины величиной в час. А высоту этих столбиков сделаем равной скорости работы в середине этого часа.

Площадь каждого столбика по отдельности легко посчитать, надо умножить его ширину на высоту. Получается, что площадь каждого столбика - это сколько примерно я работы сделал за каждый час. А если просуммировать все столбики, то получится примерная моя работа за день.

Проблема в том, что результат получится примерный, а нам нужно точное число. Разобьем график на столбики по полчаса:

На картинке видно, что это уже гораздо ближе к тому, что мы ищем.

Так уменьшать отрезки на графике можно до бесконечности, и каждый раз мы все ближе и ближе будем подходить к площади под графиком. А когда ширина столбиков будет стремиться к нулю, тогда сумма их площадей будет стремиться к площади под графиком. Это и называется интегралом и обозначается вот так:

В этой формуле f(x) означает функцию, которая зависит от величины x, а буквы a и b - это отрезок на котором мы хотим найти интеграл.

Зачем это нужно?

Ученые стараются все физические явления выразить в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, дальше уже можно при помощи нее посчитать что угодно. А интеграл - это один из основных инструментов работы с функциями.

Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.

Нет, зачем мне это нужно?

Да низачем - просто так, из любопытства. На самом деле интегралы входят даже в школьную программу, но не так много людей вокруг помнят, что это такое.