Прямолинейное и криволинейное движение. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью
Если ускорение материальной точки во все моменты времени равно нулю, то скорость ее движения постоянна по величине и по направлению. Траектория в этом случае представляет собой прямую линию. Движение материальной точки в сформулированных условиях называют равномерным прямолинейным. При прямолинейном движении центростремительная составляющая ускорения отсутствует, а поскольку движение равномерное, то и касательная составляющая ускорения равна нулю.
Если ускорение остается постоянным во времени (), то движение называют равнопеременным или неравномерным. Равнопеременное движение может быть равноускоренным, если а > 0, и равнозамедленным, если а < 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = Dv/Dt = (v-v o)/t, откуда
(1.7)
где v o - начальная скорость движения при t=О, v - скорость в момент времени t.
Согласно формуле (1.4) ds = vdt. Тогда
Поскольку для равнопеременного движения a=const, то
(1.8)
Формулы (1.7) и (1.8) справедливы не только для равнопеременного (неравномерного) прямолинейного движения, но также для свободного падения тела и для движения тела, брошенного вверх. В последних двух случаях а = g = 9,81 м/с 2 .
Для равномерного прямолинейного движения v = v o = const, а = 0, и формула (1.8) принимает вид s = vt.
Движение по окружности является простейшим случаем криволинейного движения. Скорость v движения материальной точки по окружности называют линейной. При постоянной по модулю линейной скорости движение по окружности является равномерным. Касательное ускорение материальной точки при равномерном движении по окружности отсутствует, а t = 0. Это значит, что отсутствует изменение скорости по модулю. Изменение вектора линейной скорости по направлению характеризуется нормальным ускорением, а n ¹ 0. В каждой точке круговой траектории вектор а n направлен по радиусу к центру окружности.
а n =v 2 /R, м/с 2 . (1.9)
Полученное ускорение действительно является центростремительным (нормальным), так как при Dt->0 Dj тоже стремится к нулю (Dj->0) и векторы и будут направлены вдоль радиуса окружности к ее центру.
Наряду с линейной скоростью v равномерное движение материальной точки по окружности характеризуется угловой скоростью. Угловая скорость представляет собой отношение угла поворота Dj радиуса-вектора к интервалу времени, за который этот поворот произошел,
Рад/с (1.10)
Для неравномерного движения используется понятие мгновенной угловой скорости
.
Интервал времени t, в течение которого материальная точка совершает один полный оборот по окружности, называют периодом вращения, а величину, обратную периоду, - частотой вращения: n = 1/T, с -1 .
За один период угол поворота радиус-вектора материальной точки равен 2π рад, поэтому , Dt = Т, откуда период вращения , а угловая скорость оказывается функцией периода или частоты вращения
Известно, что при равномерном движении материальной точки по окружности путь, ею пройденный, зависит от времени движения и линейной скорости: s = vt, м. Путь, который проходит материальная точка по окружности радиусом R, за период, равен 2πR. Время, необходимое для этого, равно периоду вращения, то есть t = Т. И, следовательно,
2πR = vT, м (1.11)
и v = 2nR/T = 2πnR, м/с. Поскольку угол поворота радиус-вектора материальной точки за период вращения Т равен 2π, то, исходя из (1.10), при Dt = Т, . Подставляя в (1.11), получим и отсюда находим связь между линейной и угловой скоростью
Угловая скорость - векторная величина. Вектор угловой скорости направлен из центра окружности, по которой движется материальная точка с линейной скоростью v, перпендикулярно плоскости окружности по правилу правого винта.
При неравномерном движении материальной точки по окружности изменяются линейная и угловая скорости. По аналогии с линейным ускорением в этом случае вводится понятие среднего углового ускорения и мгновенного: . Соотношение между касательным и угловым ускорениями имеет вид .
6. Криволинейное движение. Угловое перемещение, угловые скорость и ускорение тела. Путь и перемещение при криволинейном движении тела.
Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.
Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модульскорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).
Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.
При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1.19), аl – длина траектории . Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).
Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.
Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение :
или
Где v τ , v 0 – величины скоростей в момент времени t 0 + Δt и t 0 соответственно.
Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.
Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:
Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.
Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.
Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:
Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).
Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.
Криволинейное движение
Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.
Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции v x и v y ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времениt определяется по формулам
Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением где r – радиус окружности.
Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.
При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:
Нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:
v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизна траектории в данной точке.
Тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.
Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:
Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения.
Период обращения - это время, за которое тело совершается один оборот.
Обозначается период буквой Т (с) и определяется по формуле:
где t - время обращения, п - число оборотов, совершенных за это время.
Частота обращения - это величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени.
Обозначается частота греческой буквой (ню) и находится по формуле:
Измеряется частота в 1/с.
Период и частота - величины взаимно обратные:
Если тело, двигаясь по окружности со скоростью v, делает один оборот, то пройденный этим телом путь можно найти, умножив скорость v на время одного оборота:
l = vT. С другой стороны, этот путь равен длине окружности 2πr . Поэтому
vT = 2πr,
где w (с -1) - угловая скорость.
При неизменной частоте обращения центростремительное ускорение прямо пропорционально расстоянию от движущейся частицы до центра вращения.
Угловая скорость (w ) – величина, равная отношению угла поворота радиуса, на котором находится вращающаяся точка, к промежутку времени, за который произошел этот поворот:
.
Связь между линейной и угловой скоростями:
Движение тела можно считать известным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка. Самое простое движение твердых тел – поступательное. Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается параллельно самой себе.
Действие на тело силы в одних случаях может привести к изменению только модуля вектора скорости этого тела, а в других - к изменению направления скорости. Покажем это на примерах.
На рисунке 34, а изображён шарик, лежащий на столе в точке А. Шарик привязан к одному из концов резинового шнура. Второй конец шнура прикреплён к столу в точке О. Если шарик переместить в точку В, то шнур растянется. При этом в нём возникнет сила упругости F, действующая на шарик и стремящаяся вернуть его в первоначальное положение.
Если теперь отпустить шарик, то под действием силы F он будет ускоренно двигаться к точке А. В данном случае скорость шарика в любой точке траектории (например, в точке С) сонаправлена с силой упругости и ускорением, возникшим в результате действия этой силы. При этом меняется только модуль вектора скорости шарика, а направление вектора скорости остаётся неизменным, и шарик движется прямолинейно.
Рис. 34. Если скорость тела и действующая на него сила направлены вдоль одной прямой,то тело движется прямолинейно, а если они направлены вдоль пересекающихся прямых, тело движется криволинейно
Теперь рассмотрим пример, в котором под действием силы упругости шарик движется криволинейно (т. е. траектория его движения представляет собой кривую линию). На рисунке 34, б изображён тот же шарик на резиновом шнуре, лежащий в точке А. Толкнём шарик к точке В, т. е. придадим ему начальную скорость, направленную перпендикулярно отрезку О А. Если бы на шарик не действовали никакие силы, то он сохранял бы величину и направление полученной скорости (вспомните явление инерции). Но, двигаясь к точке В, шарик удаляется от точки О и чуть-чуть растягивает шнур. Поэтому в шнуре возникает сила упругости F, стремящаяся сократить его до первоначальной длины и одновременно приблизить шарик к точке О. В результате действия этой силы направление скорости шарика в каждый момент его движения немного меняется, поэтому он движется по криволинейной траектории АС. В любой точке траектории (например, в точке С) скорость шарика v и сила F направлены вдоль пересекающихся прямых: скорость - по касательной к траектории, а сила - к точке О.
Рассмотренные примеры показывают, что действие на тело силы может привести к разным результатам в зависимости от направления векторов скорости и силы.
Если скорость тела и действующая на него сила направлены вдоль одной прямой, то тело движется прямолинейно, а если они направлены вдоль пересекающихся прямых, то тело движется криволинейно.
Верно и обратное утверждение: если тело движется криволинейно, то это значит, что на него действует какая-то сила, меняющая направление скорости, причём в каждой точке сила и скорость направлены вдоль пересекающихся прямых.
Существует бесчисленное множество различных криволинейных траекторий. Но часто кривые линии, например линия ABCDEF (рис. 35), могут быть представлены в виде совокупности дуг окружностей разных радиусов.
Рис. 35. Траектория ABCDEF может быть представлена в виде совокупности дуг окружностей разных радиусов
Поэтому во многих случаях изучение криволинейного движения тела сводится к изучению его движения по окружности.
Вопросы
- Рассмотрите рисунок 34, а и ответьте на вопросы: под действием какой силы шарик приобретает скорость и движется от точки В к точке А? В результате чего эта сила возникла? Как направлены ускорение, скорость шарика и действующая на него сила? По какой траектории движется шарик?
- Рассмотрите рисунок 34, Си ответьте на вопросы: почему в шнуре возникла сила упругости и как она направлена по отношению к самому шнуру? Что можно сказать о направлении скорости шарика и действующей на него силы упругости шнура? Как движется шарик - прямолинейно или криволинейно?
- При каком условии тело под действием силы движется прямолинейно, а при каком - криволинейно?