Если ребра пирамиды равны то. Геометрические фигуры. Пирамида
Понятие пирамиды
Определение 1
Геометрическая фигура, образованная многоугольником и точкой, не лежащей в плоскости, содержащей этот многоугольник, соединенной со всеми вершинами многоугольника называется пирамидой (рис. 1).
Многоугольник, из которого составлена пирамида, называется основанием пирамиды, получаемые при соединение с точкой треугольники - боковыми гранями пирамиды, стороны треугольников -- сторонами пирамиды, а общая для всех треугольников точка-- вершиной пирамиды.
Виды пирамид
В зависимости от количества углов в основании пирамиды ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 2).
Рисунок 2.
Еще один вид пирамид -- правильная пирамида.
Введем и докажем свойство правильной пирамиды.
Теорема 1
Все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, которые равны между собой.
Доказательство.
Рассмотрим правильную $n-$угольную пирамиду с вершиной $S$ высотой $h=SO$. Опишем вокруг основания окружность (рис. 4).
Рисунок 4.
Рассмотрим треугольник $SOA$. По теореме Пифагора, получим
Очевидно, что так будет определяться любое боковое ребро. Следовательно, все боковые ребра равны между собой, то есть все боковые грани -- равнобедренные треугольники. Докажем, что они равны между собой. Так как основание -- правильный многоугольник, то основания всех боковых граней равны между собой. Следовательно, все боковые грани равны по III признаку равенства треугольников.
Теорема доказана.
Введем теперь следующее определение, связанное с понятием правильной пирамиды.
Определение 3
Апофемой правильной пирамиды называется высота её боковой грани.
Очевидно, что по теореме один все апофемы равны между собой.
Теорема 2
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется как произведение полупериметра основания на апофему.
Доказательство.
Обозначим сторону основания $n-$угольной пирамиды через $a$, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна
Так как, по теореме 1, все боковые стороны равны, то
Теорема доказана.
Еще один вид пирамиды -- усеченная пирамида.
Определение 4
Если через обычную пирамиду провести плоскость, параллельную её основанию, то фигура, образованная между этой плоскостью и плоскостью основания называется усеченной пирамидой (рис. 5).
Рисунок 5. Усеченная пирамида
Боковыми гранями усеченной пирамиды являются трапеции.
Теорема 3
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды определяется как произведение суммы полупериметров оснований на апофему.
Доказательство.
Обозначим стороны оснований $n-$угольной пирамиды через $a\ и\ b$ соответственно, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна
Так как все боковые стороны равны, то
Теорема доказана.
Пример задачи
Пример 1
Найти площадь боковой поверхности усеченной треугольной пирамиды, если она получена из правильной пирамиды со стороной основания 4 и апофемой 5 путем отсечения плоскостью, проходящей через среднюю линию боковых граней.
Решение.
По теореме о средней линии получим, что верхнее основание усеченной пирамиды равно $4\cdot \frac{1}{2}=2$, а апофема равна $5\cdot \frac{1}{2}=2,5$.
Тогда, по теореме 3, получим
Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.
На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.
Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 ...А n , который лежит в плоскости α, и точку P , которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А 1 , А 2 , А 3 , … А n . Получим n треугольников: А 1 А 2 Р , А 2 А 3 Р и так далее.
Определение . Многогранник РА 1 А 2 …А n , составленный из n -угольника А 1 А 2 ...А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3 …РА n А n -1 , называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.
Рис. 1
Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).
Р - вершина пирамиды.
ABCD - основание пирамиды.
РА - боковое ребро.
АВ - ребро основания.
Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.
Рис. 2
Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:
S полн = S бок + S осн
Пирамида называется правильной, если:
- ее основание - правильный многоугольник;
- отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды
Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).
Р - вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО - это высота пирамиды.
Рис. 3
Пояснение : в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h а .
1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;
2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.
Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,
АВСD - квадрат,
РО - высота пирамиды.
Доказать :
1. РА = РВ = РС = РD
2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.
Рис. 4
Доказательство .
РО - высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD - прямоугольные.
Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.
Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО - общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.
Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС . Значит, треугольники АВР и ВCР - равнобедренные и равны по трем сторонам.
Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:
Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.
Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.
АВ = ВС = АС.
РО - высота.
Доказать : . См. Рис. 5.
Рис. 5
Доказательство.
РАВС - правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС . Пусть О - центр треугольника АВС , тогда РО - это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС . Заметим, что .
Треугольники РАВ, РВC, РСА - равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:
S бок = 3S РАВ
Теорема доказана.
Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,
АВСD - квадрат,
r = 3 м,
РО - высота пирамиды,
РО = 4 м.
Найти : S бок. См. Рис. 6.
Рис. 6
Решение .
По доказанной теореме, .
Найдем сначала сторону основания АВ . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.
Тогда, м.
Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:
Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).
Треугольник DPC - равнобедренный. М - середина DC . То есть, РМ - медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC . Тогда РМ - апофема пирамиды.
РО - высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямой ОМ , лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ .
Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:
Ответ : 60 м 2 .
Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.
Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,
АВ = ВС = СА,
R = м,
S бок = 18 м 2 .
Найти : . См. Рис. 7.
Рис. 7
Решение .
В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.
Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.
По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:
Ответ : 4 м.
Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.
Список литературы
- Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
- Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.
- Интернет портал «Якласс» ()
- Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
- Интернет портал «Slideshare.net» ()
Домашнее задание
- Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
- Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
- Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
- РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.
Продолжаем рассматривать задачи входящие в ЕГЭ по математике. Мы уже исследовали задачи, где в условии дан и требуется найти расстояние между двумя данными точками либо угол.
Пирамида - это многогранник, основание которого является многоугольником, остальные грани - треугольники, при чём они имеют общую вершину.
Правильная пирамида — это пирамида в основании которой лежит правильный многоугольник, а его вершина проецируется в центр основания.
Правильная четырехугольная пирамида — снованием является квадрат.Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).
ML - апофема
∠MLO - двугранный угол при основании пирамиды
∠MCO - угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды
В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на решение правильной пирамиды. Требуется найти какой-либо элемент, площадь боковой поверхности, объём, высоту. Разумеется, необходимо знать теорему Пифагора, формулу площади боковой поверхности пирамиды, формулу для нахождения объёма пирамиды.
В статье « » представлены формулы, которые необходимы для решения задач по стереометрии. Итак, задачи:
SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 51, AC = 136. Найдите боковое ребро SC .
В данном случае в основании лежит квадрат. Это означает, что диагонали AC и BD равны, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отметим, что в правильной пирамиде высота опущенная из её вершины проходит через центр основания пирамиды. Таким образом, SO является высотой, а треугольник SOC прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:
Как извлекать корень из большого числа .
Ответ: 85
Решите самостоятельно:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC .
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SC = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SO .
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC .
SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 7, а SR = 16. Найдите площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины):
Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Боковыми гранями в правильной треугольной пирамиде являются равные по площади треугольники. В данном случае:
Ответ: 168
Решите самостоятельно:
В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.
В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SR .
В правильной треугольной пирамиде SABC L - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB .
В правильной треугольной пирамиде SABC M . Площадь треугольника ABC равна 25, объем пирамиды равен 100. Найдите длину отрезка MS .
Основание пирамиды - равносторонний треугольник . Поэтому M является центром основания, а MS - высотой правильной пирамиды SABC . Объем пирамиды SABC равен: осмотреть решение
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M . Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M . Объем пирамиды равен 1, MS = 1. Найдите площадь треугольника ABC .
На этом закончим. Как видите, задачи решаются в одно-два действия. В будущем рассмотрим с вами другие задачи из данной части, где даны тела вращения, не пропустите!
Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек , входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды . И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины - настоящий ад.
Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же - тетраэдр ). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.
Для начала вспомним определение:
Правильная пирамида - это такая пирамида, у которой:
- В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;
- Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.
В частности, основанием четырехугольной пирамиды является квадрат . Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.
Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются - просто числа будут другими.
Вершины четырехугольной пирамиды
Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , где S - вершина, основание ABCD - квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:
Вводим систему координат с началом в точке A :
- Ось OX направлена параллельно ребру AB ;
- Ось OY - параллельно AD . Поскольку ABCD - квадрат, AB ⊥ AD ;
- Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD .
Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH - высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A , B , C и D лежат в плоскости OXY , их координата z = 0. Имеем:
- A = (0; 0; 0) - совпадает с началом координат;
- B = (1; 0; 0) - шаг на 1 по оси OX от начала координат;
- C = (1; 1; 0) - шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY ;
- D = (0; 1; 0) - шаг только по оси OY .
- H = (0,5; 0,5; 0) - центр квадрата, середина отрезка AC .
Осталось найти координаты точки S . Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ . Осталось найти координату z для точки S .
Рассмотрим треугольники ASH и ABH :
- AS = AB = 1 по условию;
- Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH - высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;
- Сторона AH - общая.
Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD . Но BD - диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:
Итого координаты точки S :
В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:
Что делать, когда ребра разные
А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS :
Треугольник AHS - прямоугольный , причем гипотенуза AS - это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD . Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC . Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора . Это и будет координата z для точки S .
Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , в основании которой лежит квадрат со стороной 1. Боковое ребро BS = 3. Найдите координаты точки S .
Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y = 0,5. Это следует из двух фактов:
- Проекция точки S на плоскость OXY - это точка H ;
- Одновременно точка H - центр квадрата ABCD , все стороны которого равны 1.
Осталось найти координату точки S . Рассмотрим треугольник AHS . Он прямоугольный, причем гипотенуза AS = BS = 3, катет AH - половина диагонали. Для дальнейших вычислений нам потребуется его длина:
Теорема Пифагора для треугольника AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Имеем:
Итак, координаты точки S :
Инструкция
В том случае, если в основании пирамиды
лежит квадрат, известна длина его диагонали, а также длина ребра этой пирамиды
, то высоту
этой пирамиды
можно выразить из теоремы Пифагора, ведь треугольник, который образован ребром пирамиды
, и половиной диагонали в основании - это прямоугольный треугольник.
Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы в прямоугольном по величине равен сумме квадратов его катетов(a² = b² + c²). Грань пирамиды
- гипотенуза, один из катетов - половина диагонали квадрата. Тогда длина неизвестного катета (высоты) находится по формулам:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².
Чтобы обе ситуации были максимально ясны и понятны, можно рассмотреть пару .
Пример 1: Площадь основания пирамиды
46 см², ее объем равен 120 см³. Исходя из этих данных, высота пирамиды
находится так:
h = 3*120/46 = 7.83 см
Ответ: высота данной пирамиды
составит, приблизительно, 7.83 см
Пример 2: У пирамиды
, в основании которого лежит многоугольник - квадрат, его диагональ равна 14 см, длина ребра составляет 15 см. Согласно этим данным, чтобы найти высоту
пирамиды
, требуется воспользоваться следующей формулой (которая как следствие из теоремы Пифагора):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 см
Ответ: высота данной пирамиды
составляет √29 см или, приблизительно, 5.4 см
Обратите внимание
Если в основании пирамиды находится квадрат или иной правильный многоугольник, то данную пирамиду можно называть правильной. Такая пирамида обладает рядом свойств:
ее боковые ребра равны;
грани ее - равнобедренные треугольники, которые равны между собой;
около такой пирамиды можно описать сферу, а также и вписать ее.
Источники:
- Правильная пирамида
Пирамидой называют фигуру, в основании которой лежит многоугольник, при этом её грани представляют собой треугольники с общей для всех вершиной. В типовых задачах часто требуется построить и определить длину перпендикуляра, проведённого из вершины пирамиды к плоскости её основания. Длина этого отрезка называется высотой пирамиды .
Вам понадобится
- - линейка
- - карандаш
- - циркуль
Инструкция
Для выполнения постройте пирамиду в соответствии с условием задачи. Например, для построения правильного тетраэдра необходимо начертить фигуру так, чтобы все 6 рёбер были равны между собой. Если требуется построить высоту четырёхугольной , то равными должны быть лишь 4 ребра основания. Тогда рёбра боковых граней можете строить неравными с рёбрами многоугольника. Назовите пирамиду, обозначив все вершины буквами латинского . Например, для пирамиды с треугольником в основании можно выбрать A, B, C (для основания), S (для вершины). Если в условии заданы конкретные размеры рёбер, то при построении фигуры исходите из данных величин.
Для начала условно подберите при помощи циркуля , касающуюся изнутри всех рёбер многоугольника. Если пирамида , то точка (назовите её, например, Н) на основании пирамиды , в которую опускается высота, должна соответствовать центру окружности вписанной в правильный основания пирамиды . Центру будет соответствовать точка, равноудалённая от любой другой точки на окружности. Если соединить вершину пирамиды S с центром окружности H, то отрезок SH и будет высотой пирамиды . При этом помните, что окружность можно вписать в четырёхугольник, суммы противоположных сторон которого одинаковы. Это касается квадрата и ромба. При этом точка H будет лежать четырёхугольника. Для любого треугольника есть возможность вписать и описать окружность.
Чтобы построить высоту пирамиды , воспользуйтесь циркулем для рисования окружности, а затем при помощи линейки соедините её центр H с вершиной S. SH – искомая высота. Если в основании пирамиды SABC неправильная фигура, то высота будет соединять вершину пирамиды с центром окружности, в которую вписан многоугольник основания. Все вершины многоугольника лежат на такой окружности. При этом данный отрезок будет перпендикуляром к плоскости основания пирамиды . Описать окружность вокруг четырёхугольника можно, если сумма противоположных углов равна 180о. Тогда центр такой окружности будет лежать на пересечении диагоналей соответствующих