В чем измеряется радиус окружности. Как найти радиус окружности. Вписанная и описанная окружность

Окружностью называют замкнутую, плоскую кривую, все точки которой, лежащие в одной плоскости, удалены на одинаковом расстоянии от центра.

Точка О является центром окружности, R является радиусом окружности — расстоянием от какой-нибудь точки окружности до центра. По определению все радиусы замкнутой

рис. 1

кривой имеют одинаковую длину.

Расстояние между двумя точками окружности называется хордой. Отрезок окружности, проходящий через ее центр и соединяющий две ее точки, называется диаметром. Середина диаметра является центром окружности. Точки окружности делят замкнутую кривую на две части, каждая часть носит название дуги окружности. Если концы дуги принадлежат диаметру, то такая окружность называется полуокружностью, длину которой принято обозначать π . Градусная мера двух окружностей, имеющих общие концы, составляет 360 градусов.

Концентрические окружности - это окружности, имеющие общий центр. Ортогональные окружности — это окружности, которые пересекаются под углом равным 90 градусов.

Плоскость, которую ограничивает окружность, называется кругом. Одна часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой — это круговой сектор. Дуга сектора - это дуга, ограничивающая сектор.

Рис. 2

Взаимное расположение окружности и прямой (рис.2).

Окружность и прямая имеют две общие точки, если расстояние от прямой до центра окружности менее радиуса окружности. В таком случае прямая по отношению к окружности называется секущей.

Окружность и прямая имеют одну общую точку, если расстояние от прямой до центра окружности равно радиусу окружности. В таком случае прямая по отношению к окружности называется касательной к окружности. Их общая точка носит название точки касания окружности и прямой.

Основные формулы окружности:

• C = 2πR , где C — длина окружности
• R = С/(2π) = D/2 , где С/(2π) — длина дуги окружности
• D = C/π = 2R , где D — диаметр
• S = πR2 , где S — площадь круга
• S = ((πR2)/360)α , где S — площадь кругового сектора

Окружность и круг получили свое название в Древней Греции. Уже в древности человека интересовали круглые тела, поэтому окружность становилась венцом совершенства. То, что круглое тело могло двигаться само по себе, стало толчком к изобретению колеса. Казалось бы, что особенного в этом изобретении? Но представьте, если в одно мгновение колеса исчезнут из нашей жизни. В дальнейшем это изобретение и породило математическое понятие окружности.

– это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.

Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом . В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром . Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно : Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.

Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.

Существует формула площади круга через диаметр . Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения .

Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.


Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:

Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.

Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.

Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности:
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l = 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:

Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.

Площадь круга описанного вокруг квадрата

Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда .
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: .
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата:

Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.

В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.

Формула 1: R = Л / 2π, где Л - это а π - константа, равная 3,141…

Формула 2: R = √(S / π), где S - это величина площади круга.

Формула 1: R = В/2, где В - гипотенуза.

Формула 2: R = М*В, где В - гипотенуза, а М - медиана, проведенная к ней.

Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника

Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А - длина одной из сторон фигуры, а n - количество сторон в данной геометрической фигуре.

Как найти радиус вписанной окружности

Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.

Формула 1: R = S / (Р/2), где - S и Р - площадь и периметр фигуры соответственно.

Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), где Р - периметр, А - длина одной из сторон, а - противолежащий этой стороне угол.

Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник

Формула 1:

Радиус окружности, которая вписана в ромб

Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.

Формула 1: R = 2 * Н, где Н - это высота геометрической фигуры.

Формула 2: R = S / (А*2), где S - это а А - длина его стороны.

Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S - это площадь ромба, а sin А - синус острого угла данной геометрической фигуры.

Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г - это длины диагоналей геометрической фигуры.

Формула 5: R = В*sin (А/2), где В - диагональ ромба, а А - это угол в вершинах, соединяющих диагональ.

Радиус окружности, которая вписана в треугольник

В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте (П), а затем полупериметр (п):

П = А+Б+В, где А, Б, В - длин сторон геометрической фигуры.

Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).

А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.

Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)

Формула 3: R = S/п = S / (А+Б+В)/2), где - п - это полупериметр геометрической фигуры.

Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), где п - это полупериметр треугольника, А - одна из его сторон, а tg (А/2) - тангенс половины противолежащего этой стороне угла.

А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в

Формула 5: R =А * √3/6.

Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник

Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.

Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б - катеты, С - гипотенуза.

В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.

С = √(А²+Б²).

Радиус окружности, которая вписана в квадрат

Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.

Формула 1: R = А/2, где А - длина стороны квадрата.

Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р - площадь и периметр квадрата соответственно.

Для начала дадим определение радиуса. В переводе с латинского radius - это «луч, спица колеса». Радиус окружности - это отрезок прямой, соединяющий центр окружности с точкой, которая находится на ней. Длина данного отрезка - это значение радиуса. В математических расчётах для обозначения данной величины используют R.

Советы по нахождению радиуса:

1. является отрезком прямой, проходящей через ее центр и соединяющей точки, лежащие на окружности, которые максимально удалены друг от друга. Радиус окружности равняется половине её диаметра, следовательно, если вам известен диаметр окружности, то для нахождения её радиуса следует применить формулу: R = D/2, где D - диаметр.
2. Длина закрытой кривой, которая образуется на плоскости - это длина окружности. Если вы знаете ее длину, то для нахождения радиуса окружности вы можете применить универсальную в своем роде формулу: R = L/(2*π), где L является длиной окружности, а π - константой, равной 3,14. Константа π представляет собой отношение длины окружности к длине ее диаметра, она одинакова для всех окружностей.
3. Круг представляет собой геометрическую фигуру, являющуюся частью плоскости, ограниченной кривой - окружностью. В том случае, если вы знаете площадь какого либо круга, то радиус окружности может быть найден по специальной формуле R = √(S/π), где S является площадью круга.
4. Радиус вписаной окружности (в квадрат) находится следующим образом: r = a/2, где а является стороной квадрата.
5. Радиус описанной окружности (вокруг прямоугольника) вычисляют по формуле: R = √ (a2 + b 2)/2, где а и b являются сторонами прямоугольника.
6. В том случае, если вы не знаете длину окружности, но знаете высоту и длину какого-либо ее сегмента, то вид формулы будет таков:

R = (4*h2 + L2)/8*h, где h является высотой сегмента, а L является его длиной.

Находим радиус окружности, вписанной в треугольник (прямоугольный). В треугольник, какой бы вид он не имел, может быть вписана лишь одна-единственная окружность, центр которой будет одновременно той точкой, где пересекаются биссектрисы его углов. имеет множество свойств, которые должны быть учтены, когда вычисляется радиус вписанной окружности. В задаче могут быть приведены различные данные, следовательно, требуется выполнить дополнительные вычисления, необходимые для ее решения.

Советы по нахождению радиуса вписанной окружности:

1. Сначала нужно построить треугольник с теми размерами, которые уже были заданы в вашей задаче. Это необходимо делать, зная размеры всех трёх сторон или двух сторон и угла между ними. Так как размер одного угла вам уже известен, то в условии должны быть два катета. Катеты, которые противолежат углам, должны быть обозначены, как а и b, а гипотенуза - как с. Что касается радиуса вписанной окружности, то он обозначается как r.
2. Для применения стандартной формулы определения радиуса вписанной окружности требуется найти все три стороны прямоугольного треугольника. Зная размеры всех сторон, вы сможете найти полупериметр треугольника из формулы: p = (a + b+ c)/2.
3. Если вы знаете один угол и катет, то вам следует определить, прилежащий он или противолежащий. Если он прилежащий, то гипотенузу можно вычислить, используя теорему косинусов: c = a/cosCBA. Если он противолежащий, то тогда требуется воспользоваться c=a/sinCAB.
4. Если у вас есть полупериметр, то вы можете определить радиус вписанной окружности. Вид формулы для радиуса будет таким: r=√(p-b)(p-a)(p-c)/p.
5. Следует отметить, что найти радиус можно по формуле: r = S/p. Так что если вам известны два катета, то процедура вычисления будет более лёгкой. Гипотенуза, требуемая для полупериметра, может быть найдена по сумме квадратов его катетов. Вычислить площадь вы можете, перемножив все имеющиеся катеты и разделив надвое число, которое вы получили.

Изначально это выглядит так:

Рисунок 463.1 . а) имеющаяся дуга, б) определение длины хорды сегмента и высоты.

Таким образом, когда имеется дуга, мы можем соединить ее концы и получим хорду длиной L. Посредине хорды мы можем провести линию, перпендикулярную хорде и таким образом получим высоту сегмента H. Теперь, зная длину хорды и высоту сегмента, мы можем сначала определить центральный угол α, т.е. угол между радиусами, проведенными из начала и конца сегмента (на рисунке 463.1 не показаны), а затем и радиус окружности.

Решение подобной задачи достаточно подробно рассматривалось в статье "Расчет арочной перемычки ", поэтому здесь лишь приведу основные формулы:

tg(a /4) = 2Н/L (278.1.2)

а /4 = arctg(2H/L )

R = H /(1 - cos(a /2)) (278.1.3)

Как видим, с точки зрения математики никаких проблем с определением радиуса окружности нет. Данный метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это главное достоинство данного метода.

А теперь поговорим о недостатках.

Проблема данного метода даже не в том, что требуется помнить формулы из школьного курса геометрии, успешно забытые много лет назад - для того, чтобы напомнить формулы - есть интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и проч. есть далеко не у каждого пользователя. И хотя эту проблему также успешно позволяет решить интернет, но при этом не следует забывать, что мы решаем достаточно прикладную задачу. Т.е. далеко не всегда нужно определить радиус окружности с точностью до 0.0001 мм, точность 1 мм может быть вполне приемлема.

Кроме того, для того, чтобы найти центр окружности, нужно продлить высоту сегмента и отложить на этой прямой расстояние, равное радиусу. Так как на практике мы имеем дело с не идеальными измерительными приборами, к этому следует прибавить возможную погрешность при разметке, то получается, что чем меньше высота сегмента по отношению к длине хорды, тем больше может набежать погрешность при определении центра дуги.

Опять же не следует забывать о том, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е. это мы так сходу назвали кривую дугой. В действительности это может быть кривая, описываемая достаточно сложной математической зависимостью. А потому найденный таким образом радиус и центр окружности могут и не совпадать с фактическим центром.

В связи с этим я хочу предложить еще один способ определения радиуса окружности, которым сам часто пользуюсь, потому что этим способом определить радиус окружности намного быстрее и проще, хотя точность при этом значительно меньше.

Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)

Итак продолжим рассмотрение имеющейся ситуации.

Так как нам все равно необходимо найти центр окружности, то для начала мы из точек, соответствующих началу и концу дуги, проведем как минимум две дуги произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг будет проходить прямая, на которой и находится центр искомой окружности.

Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Впрочем, если мы из указанных точек проведем не по одной дуге, а по две, то данная прямая будет проходить через пересечение этих дуг и тогда искать середину хорды вовсе не обязательно.

Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента, то значит центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямой, проведенной через пересечение дуг и середину хорды. Если меньше - то искомый центр дуги выше на прямой.

Исходя из этого на прямой принимается следующая точка, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся те же измерения. Затем принимается следующая точка и измерения повторяются. С каждой новой точкой разница измерений будет все меньше.

Вот собственно и все. Не смотря на столь пространное и мудреное описание, для определения радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм достаточно 1-2 минут.

Теоретически это выглядит примерно так:

Рисунок 463.2 . Определение центра дуги методом последовательных приближений.

А на практике примерно так:

Фотография 463.1 . Разметка заготовки сложной формы с разными радиусами.

Тут только добавлю, что иногда приходится находить и чертить несколько радиусов, потому на фотографии так много всего и намешано.