Деление (математика)

Деле́ние (операция деления) - одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению . Деление - это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое. Существует несколько символов , используемых для обозначения оператора деления.

Рассмотрим, например, такой вопрос:

Сколько раз 3 содержится в 14?

Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 «входит» в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.

В этом случае число 14 называется делимым , число 3 - делителем , число 4 - (неполным) частным и число 2 - остатком (от деления) .

Результат деления также называют отношением .

Деление натуральных чисел

Обычно на остаток накладываются следующие ограничения (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён):

, ,

где - делимое, - делитель, - частное и - остаток.

Деление целых чисел

Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел - достаточно поделить их модули и учесть правило знаков.

Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:

.

Деление рациональных чисел

Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.

Деление на ноль

По правилам стандартной арифметики деление на число 0 запрещено.

Другое дело - деление на бесконечно малую функцию или последовательность. Деление конечных функций на бесконечно малые приводит к появлению бесконечно больших, а отношение двух бесконечно малых называется неопределённостью 0/0, которую можно преобразовать (см. раскрытие неопределённостей) с тем, чтобы получить определённый результат.

Как следует из определения операции деления, результатом операции 0:0 может считаться любое действительное число, таким образом, значение операции 0:0 неопределенно и задача деления нуля на нуль имеет бесчисленное множество решений. . Это не соответствует стандартному определению бинарной операции , согласно которому результатом операции с двумя числами может быть только единственное значение.

Операции деления ненулевого числа на ноль не соответствует никакое действительное число.

Результат этой операции считается бесконечно большим и равным бесконечности :
, где
Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным a или приближается к нему, то частное неограниченно увеличивается(по модулю).

Поскольку бесконечность не является действительным числом, то такая операция выходит за пределы алгебры действительных чисел, если бинарная операция в ней определяется как . .

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Деление (математика)" в других словарях:

Деление c остатком (деление по модулю, нахождение остатка от деления, остаток от деления) арифметическая операция, результатом которой является два целых числа: неполное частное и остаток от деления целого числа на другое целое число.… … Википедия

Операция деления по модулю в различных языках программирования Язык Оператор Знак результата Делимое Ada mod Частное rem Делимое ASP Mod Не определено C (ISO 1990) % Не определено C (ISO 1999) … Википедия

В Викисловаре есть статья «деление» Деление: Деление (биология) бесполый способ размножения живых организмов. Деление клетки Деление (математика) математическая операция. Деление с остатком … Википедия

Функция y = 1/x. Когда x стремится к нулю справа, y стремится к бесконечности. Когда x стремится к нулю слева, y стремится к минус бесконечности … Википедия

- (начало) «Математика в девяти книгах» (кит. трад. 九章算術 … Википедия

I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия

Кипукамайок из книги Гуамана Пома де Айяла «Первая Новая Хроника и Доброе Правление». Слева у ног кипукамайока юпана, содержащая вычисления священного числа для песни «Сумак Ньюста» (в оригинале рукописи рисунок не цветной, а чёрно белый;… … Википедия

Я, ср. 1. Действие по глаг. делить (в 1 знач.). 2. Действие и состояние по глаг. делиться (в 1 знач.); распадение, членение на части. Деление общества на классы. || биол. Малый академический словарь

деление - Форма размножения некоторых организмов и многих клеток многоклеточных организмов. У бактерий деление происходит путём образования перегородки после удвоения ДНК. У одноклеточных организмов, обладающих клеточным ядром, деление протекает в виде митоза. Биология. Современная энциклопедия

Деление - 1) Деление есть действие, обратное умножению; в нем по заданному произведению двух чисел и одному из двух множителей ищется второй множитель. Заданные произведение и множитель называются соответственно делимым и делителем, а искомый множитель - частным. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

деление - орф. деление, -я Орфографический словарь Лопатина

ДЕЛЕНИЕ - ДЕЛЕНИЕ, в математике - арифметическая операция, обозначаемая знаком / или: , которую определяют как обратную умножению. Частное от деления двух чисел, а: b, или a / b, является тем числом, на которое следует умножить b, чтобы получить а. Число а называют делимым, а b - делителем. Научно-технический словарь

деление - деление I ср. 1. Процесс действия по гл. делить I 1., 2., делиться I 1., 2. || Результат такого действия. 2. Разложение объёма родового понятия на подчиненные ему видовые (в классификации понятий). II ср. Толковый словарь Ефремовой

ДЕЛЕНИЕ - ДЕЛЕНИЕ - способ размножения одноклеточных организмов, а также клеток, составляющих тела многоклеточных. У бактерий деление осуществляется образованием поперечной перегородки. Большой энциклопедический словарь

Деление - I Деле́ние действие, обратное умножению (См. Умножение); заключается в нахождении одного из двух сомножителей, если известны произведение их и др. сомножитель. Т. о., разделить а на b - это значит найти такое х, что bx = а или xb = а. Результат... Большая советская энциклопедия

деление - ДЕЛЕНИЕ -я; ср. 1. к Делить (1 зн.) и Делиться (1 зн.). Д. общества на классы. // Биол. Способ размножения у простейших организмов и клеток. Д. клетки. Толковый словарь Кузнецова

деление - Форма размножения нек-рых организмов и мн. клеток, входящих в состав тела многоклеточных. У бактерий Д. осуществляется путём образования поперечной перегородки, чему предшествует удвоение (репликация) нити ДНК нуклеоида. Биологический энциклопедический словарь

деление - сущ., кол-во синонимов... Словарь синонимов русского языка

Деление - Клетки - процесс образования из одной клетки двух или более новых дочерних клеток. Деление амитотическое - см. Амитоз. Деление митотическое - см. Митоз. Деление множественное - см. Шизогония. Деление непрямое - см. Митоз. Деление прямое - см. Амитоз. Медицинская энциклопедия

деление - Деление, деления, деления, делений, делению, делениям, деление, деления, делением, делениями, делении, делениях Грамматический словарь Зализняка

деление - ДЕЛ’ЕНИЕ, деления, ср. 1. Действие по гл. делить в 1 ·знач. (·книж.). Деление на части. 2. Математическое действие, посредством которого определяется, сколько раз одно количество содержится в другом (мат.). Толковый словарь Ушакова

деление - ДЕЛЕНИЕ, я, ср. 1. см. делить, ся. 2. Обратное умножению математическое действие: нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Задача на д. 3. Способ размножения у простейших организмов и клеток. Д. клетки. Толковый словарь Ожегова

Только тем что у целых чисел нужно у частного посчитать знак. Как посчитать знак частного целых чисел? Рассмотрим подробно в теме.

Термины и понятия частного целых чисел.

Чтобы выполнить деление целых чисел нужно вспомнить термины и понятия. В делении есть: делимое, делитель и частное целых чисел.

Делимое – это то целое число, которое делят. Делитель – это целое число, на которое делят. Частное – это результат деления целых чисел.

Можно сказать “Деление целых чисел” или “Частное целых чисел” смысл этих фраз один и тот же, то есть нужно поделить одно целое число на другое и получить ответ.

Деление берет свое начало из умножения. Рассмотрим пример:

У нас есть два множителя 3 и 4. Но допустим нам известно, что есть один множитель 3 и результат умножения множителей их произведение 12. Как найти второй множитель? На помощь приходит деление.

Правило деления целых чисел.

Определение:

Частное двух целых чисел равно частному их модулей, со знаком плюс в результате, если числа одинаковых знаков, и со знаком минус, если они разных знаков.

Важно учитывать знак частного целых чисел. Кратко правила деления целых чисел:

Плюс на плюс дает плюс.
“+ : + = +”

Минус на минус дает плюс.
“– : – =+”

Минус на плюс дает минус.
“– : + = –”

Плюс на минус дает минус.
“+ : – = –”

А теперь рассмотрим подробно каждый пункт правила деления целых чисел.

Деление целых положительных чисел.

Вспомним, что целые положительные числа это тоже самое, что натуральные числа. Мы пользуемся теми же правила, что и при делении натуральных чисел. Знак частного от деления целых положительных чисел всегда плюс . Иными словами, при делении двух целых чисел “плюс на плюс дает плюс ”.

Пример:
Выполните деление 306 на 3.

Решение:
Оба числа имеют знак “+”, поэтому ответ будет со знаком “+”.
306:3=102
Ответ: 102.

Пример:
Разделите делимое 220286 на делитель 589.

Решение:
Делимое 220286 и делитель 589 имеет знак плюс, поэтому частное тоже будет иметь знак плюс.
220286:589=374
Ответ: 374

Деление целых отрицательных чисел.

Правило деления двух отрицательных чисел.

Пусть у нас будут два отрицательных целых числа a и b. Нам нужно найти их модули и выполнить деление.

Результат деления или частное двух отрицательных целых чисел будет со знаком “+” или “минус на минус дает плюс”.

Рассмотрим пример:
Найдите частное -900:(-12).

Решение:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
Ответ: -900:(-12)=75

Пример:
Выполните деление одного целого отрицательного числа -504 на второе отрицательное число -14.

Решение:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
Записать выражение можно короче:
-504:(-14)=34

Деление целых чисел с разными знаками. Правило и примеры.

При выполнении деления целых чисел с разными знаками , частное будет равно отрицательному числу.

Не важно положительное целое число делим на отрицательное целое число или отрицательное целое число делим на положительное целое число, результат деления всегда будет равен отрицательному числу.

Минус на плюс дает минус.
Плюс на минус дает минус.

Пример:
Найдите частное двух целых чисел с разными знаками -2436:42.

Решение:
-2436:42=-58

Пример:
Вычислите деление 4716:(-524).

Решение:
4716:(-524)=-9

Нуль деленный на целое число. Правило.

При деление нуля на целое число ответ будет равен нулю.

Пример:
Выполните деление 0:558.

Решение:
0:558=0

Пример:
Разделите нуль на целое отрицательное число -4009.

Решение:
0:(-4009)=0

На нуль делить нельзя.

Нельзя 0 разделить на 0.

Проверка частного деления целых чисел.

Как говорилось ранее деление и умножение тесно связаны. Поэтому чтобы проверить результат деления двух целых чисел, нужно выполнить умножение делителя и частного в результате должно получиться делимое.

Проверка результата деления краткая формула:
Делитель ∙ Частное = Делимое

Рассмотрим пример:
Выполните деление и сделайте проверку 1888:(-32).

Решение:
Обращаем внимание на знаки целых чисел. Число 1888 положительное и имеет знак “+”. Число (-32) отрицательное и имеет знак “–”. Поэтому при делении двух целых чисел с разными знаками ответ будет отрицательное число.
1888:(-32)=-59

А теперь выполним проверку найденного ответа:
1888 – делимое,
-32 – делитель,
-59 – частное,

Делитель умножаем на частное.
-32∙(-59)=1888

Данный урок посвящен изучению темы «Название компонентов и результата деления». Мы сможем узнать, как называются числа при делении. Также мы поговорим о том, как правильно читать деление и какие названия имеют компоненты и результат деления.

Посмотрите на данное выражение.

В этом выражении использован знак деления. Давайте его прочитаем.

21: 7 = 3 (21 разделить на 7, получим 3).

При делении, как и при другом математическом действии, каждое число имеет свое название.

Число, которое делят, называется делимое.

Число, на которое делят, называется делителем.

Результат деления называется частное. (Рис. 1)

Рис. 1. Названия чисел при делении

Давайте прочитаем это же выражение с использованием новых терминов.

21: 7 = 3 (делимое - 21, делитель - 7, частное равно 3).

Это же равенство можно записать по-другому. Частное 21 и 7 равно 3.

Давайте найдем частное, используя рисунки.

Выясним, сколько раз по 3 находится в числе 9.

Давайте число 9 для удобства представим в виде рисунка. (Рис. 2)

Рис. 2. Число 9

Сколько раз по 3 клубнички содержится в числе 9. Разделим клубнички по 3. (Рис. 3).

Рис. 3. Разделим клубнички по 3

Мы видим, что в числе 9 по 3 содержится 3 раза. Запишем это в виде выражения.

Прочитайте наше равенство.

9 разделить на 3, получится 3; делимое - 9, делитель - 3, частное - 3; частное 9 и 3 равно 3.

Давайте узнаем, сколько раз по 4 содержится в числе 8. Для того чтобы было удобнее, мы представим число 8 в виде рисунка. (Рис. 4).

Рис. 4. Число 8

Сколько раз по 4 содержится в числе 8?

Разделим число 8 на группы по 4. (Рис. 5)

Рис. 5. Разделим число 8 на группы по 4

Запишем с помощью выражения то, что мы выполнили.

Прочитаем наше равенство.

Делимое - 8, делитель - 4, частное - 2; частное 8 и 4 равно 2.

Давайте потренируемся записывать равенство, используя новые термины.

Частное 10 и 2 равно 5 .

Мы помним, что частное - это результат деления. Поэтому равенство запишем так:

Делимое - 12, делитель - 2, частное равно 6 .

Делимое, делитель и частное - это компоненты деления. Поэтому равенство будет выглядеть так:

Теперь попробуйте записать самостоятельно равенства:

Частное 15 и 3 равно 5 .

Делимое - 20, делитель - 5, частное - 4.

Правильный ответ:

На этом уроке мы узнали, как называются компоненты деления и результат деления. Так же мы научились считать равенства разными способами.

Список литературы

1. Александрова Э.И. Математика. 2 класс. - М.: Дрофа, 2004.
2. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. - М.: Астрель, 2006.
3. Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. - М.: Просвещение, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Nsportal.ru ().
3. Irina-se.com ().

Домашнее задание

Составьте выражения и найдите их результаты:

а) делимое - 24, делитель - 6 б) делимое - 10, делитель - 2 в) делимое - 18, делитель - 6.

Решите выражения:

а) 14: 7 б) 28: 4 в) 30: 6

Дополните равенства пропущенными числами:

а) 16: * = 4 б) 21: 3 = * в) 25: * = 5

Мы можем представить, как числа самого с собой столько раз, на сколько нам надо его умножить.

Деление можно представить, как многократное . Давайте рассмотрим этот вопрос поподробнее.

Деление чисел

Рассмотрим картинку.

На картинке мы видим 12 яблок на блюде. Яблоки разделены на четыре группы по 3 яблока. Записать это можно так:

12 ÷ 4 = 3

Число, которое мы делим, называется делимым , число на которое мы делим, называется делителем , а результат деления называется частным . В нашем примере делимое 12 , делитель 4 , а частное 3 .

Деление можно проверить умножением:

3 × 4 = 12

А также деление можно проверить, многократным вычитанием:

12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0

Мы видим, что если из 12 вычесть 4 раза 3 , то получится ноль . Значит, 12 на 4 делится без остатка .

Рассмотрим другой пример, разделим 13 на 4 .

Из рисунка видно, что при делении 13 яблок на 4 получился 3 и остаток – одно яблоко .

13 ÷ 4 = 3 (ост.1)

Проверим вычитанием:

13 – 3 – 3 – 3 – 3 = 1

Мы видим, что если из 13 четыре раза вычесть число 3, то останется 1. Наш пример называется делением с остатком. Здесь 13 – делимое , 4 – делитель , а 3 – неполное частное , 1 – остаток от деления .

Теперь проверим умножением:

3 × 4 + 1 = 13

Основные правила деления

1. НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!

2. Если делимое и делитель равны, то частное будет равно 1:

а ÷ а = 1

То есть, если 5 груш надо разделить между пятью мальчиками, то каждому достанется по одной груше.

8 ÷ 8 = 1

12 ÷ 12 = 1

3. Если делимое равно нулю, и частное будет равно нулю:

0 ÷ а = 0

То есть, если ничего разделить на что угодно, то и получится ничего.
Пример:

0 ÷ 9 = 0

0 ÷ 34 = 0

4. Если делитель равен 1, то частное равно делимому:

а ÷ 1 = а

То есть, если у мальчика есть пять груш и он один, то ему достанутся все пять груш.

6 ÷ 1 = 6

81 ÷ 1 = 81

В следующих статьях мы рассмотрим деление больших чисел, а также будет представлено несколько заданий для закрепления материала.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта”. Для этого пройдите, пожалуйста по .