Колебание и волны. Гармоническое колебательное движение. Кинематика колебательного движения

Колебания - повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия.

Гармоническое колебание - колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

где х - смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А - амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω - циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд - полная фаза колебаний, 0- начальная фаза колебаний.

Амплитуда - максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении.

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяется начальными условиями движения, т.е. положением и скоростью материальной точки в момент t=0.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

амплитуда звуковых волн и аудиосигналов обычно относится к амплитуде давления воздуха в волне, но иногда описывается как амплитуда смещения относительно равновесия (воздуха или диафрагмы говорящего)

Чaстота - физическая величина, характеристика периодического процесса, равная числу полных циклов процесса, совершённых за единицу времени. Частота колебаний в звуковых волнах определяется частотой колебаний источника. Колебания высокой частоты затухают быстрее низкочастотных.

Величина, обратная частоте колебаний называется периодом Т.

Период колебаний- длительность одного полного цикла колебаний.

В системе координат из точки 0 проведём вектор А̅, проекция которого на ось ОХ равна Аcosϕ. Если вектор А̅ будет равномерно вращаться с угловой скоростью ω˳ против часовой стрелки, то ϕ=ω˳t +ϕ˳, где ϕ˳ начальное значение ϕ(фазы колебаний), то амплитуда колебаний есть модуль равномерно вращающегося вектора А̅, фаза колебаний (ϕ)- угол между вектором А̅ и осью ОХ, начальная фаза(ϕ˳) -начальное значение этого угла, угловая частота колебаний(ω) – угловая скорость вращения вектора А̅..

2. Характеристики волновых процессов: фронт волны, луч, скорость волны, длина волны . Продольные и поперечные волны; примеры.

Поверхность, разделяющая в данный момент времени уже охваченную и ещё не охваченную колебаниями среду,называется фронт волны. Во всех точках такой поверхности после ухода фронта волны устанавливаются колебания,одинаковые по фазе.

Луч-это перпендикуляр к фронту волны. Акустические лучи, подобно световым, прямолинейны в однородной среде. Отражаются и преломляются на границе раздела 2-х сред.

Длина волны- расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, обычно длина волны обозначается греческой буквой . По аналогии с волнами, возникающими в воде от брошенного камня, длиной волны является расстояние между двумя соседними гребнями волны. Одна из основных характеристик колебаний. Измеряется в единицах расстояния (метры, сантиметры и т. п.)

продольные волны (волны сжатия, P-волны) - частицы среды колеблются параллельно (по) направлению распространения волны (как, например, в случае распространения звука);
поперечные волны (волны сдвига, S-волны) - частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (электромагнитные волны, волны на поверхностях разделения сред);

Угловая частота колебаний(ω) – угловая скорость вращения вектора А̅(Ѵ), смещение х колеблющейся точки – проекция вектора А̅ на ось ОХ.

Ѵ=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Ѵmsin(ω˳t+ϕ˳),гдеVm=Аω˳ ―максимальная скорость (амплитуда скорости)

3. Свободные и вынужденные колебания. Собственная частота колебаний системы. Явление резонанса. Примеры.

Свободными (собственными) колебаниями называют такие, которые совершаются без внешних воздействий за счет первоначально полученной теплом энергии. Характерными моделями таких механических колебаний являются материальная точка на пружине (пружинный маятник) и материальная точка на нерастяжимой нити (математический маятник).

В этих примерах колебания возникают либо за счет первоначальной энергии (отклонение материальной точки от положения равновесия и движения без начальной скорости), либо за счет кинетической (телу сообщается скорость в начальном положении равновесия), либо за счет и той и другой энергии (сообщение скорости телу, отклоненному от положения равновесия).

Рассмотрим пружинный маятник. В положении равновесия упругая сила F1

уравновешивает силу тяжести mg . Если оттянуть пружину на расстояние x, то на материальную точку будет действовать большая упругая сила. Изменение значения упругой силы (F), согласно закону Гука, пропорционально изменению длины пружины или смещению x точки: F= - rx

Другой пример. Математический маятник отклонения от положения равновесия га такой небольшой угол α , чтобы можно было считать траекторию движения материальной точки прямой линией, совпадающей с осью OX. При этом выполняется приближенное равенство: α ≈sin α≈ tgα ≈x/L

Незатухающие колебания. Рассмотрим модель, в которой пренебрегают силой сопротивления.
Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями движения, т.е. положением и скоростью материальной точки момент t=0.
Среди различных видов колебаний гармоническое колебание является наиболее простой формой.

Таким образом, материальная точка, подвешенная на пружине или нити, совершает гармонические колебания, если не учитывать силы сопротивления.

Период колебаний может быть найден из формулы: T=1/v=2П/ω0

Затухающие колебания. В реальном случае на колеблющееся тело действуют силы сопротивления (трения), характер движения изменяется, и колебание становится затухающим.

Применительно к одномерному движению последней формуле придадим следующий вид: Fс= - r * dx/dt

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания: чем сильнее тормозящее действие среды, тем больше ß и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практически, однако, степень затухания часто характеризуются логарифмическим декрементом затухания, понимая под эти величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний следовательно, коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны достаточно простой зависимостью: λ=ßT

При сильном затухании из формулы видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже не будет периодическим и называется апериодическим.

Вынужденные колебания. Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Предположим, что на материальную точку, кроме упругой силы и силы трения, действует внешняя вынуждающая сила F=F0 cos ωt

Амплитуда вынужденного колебания прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебаний. Если ω0 и ß для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной Само явление – достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для заданных ω0 и ß – называют резонансом.

Резонансную круговую частоту можно найти из условия минимума знаменателя в: ωрез=√ωₒ- 2ß

Механический резонанс сожжет быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие связано главным образом с разрушение, которое он может вызывать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможное возникновение резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и соответственно несколько резонансных частот.

Резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека.

6.Звуковые методы исследования в медицине: перкуссия, аускультация. Фонокардиография.

Звук может быть источником информации о состоянии внутренних органов человека, поэтому в медицине хорошо распространены такие методы изучения состояния пациента, как аускультация, перкуссия и фонокардиография

Аускультация

Для аускультация используют стетоскоп или фонендоскоп. Фонендоскоп состоит из полой капсулы с передающей звук мембраной, прикладываемой к телу больного, от нее идут резиновые трубки к уху врача. В капсуле возникает резонанс столба воздуха, вследствие чего усиливается звучание и улучшается аускультация. При аускультации легких выслушивают дыхательные шумы, разные хрипы, характерные для заболеваний. Также можно прослушивать сердце, кишечник и желудок.

Перкуссия

В этом методе выслушивают звучание отдельных частей тела при простукивании их. Представим замкнутую полость внутри какого-нибудь тела, заполненную воздухом. Если вызвать в этом теле звуковые колебания, то при определенной частоте звука воздух в полости начнет резонировать, выделяя и усиливая тон,соответствующий размеру и положению полости. Тело человека можно представить как совокупность газонаполненных(легкие) , жидких(внутренние органы) и твердых(кости) объемов. При ударе по поверхности тела возникают колебания, частоты которых имеют широкий диапазон. Из этого диапазона одни колебания погаснут довольно быстро, другие же, совпадающие с собственными колебаниями пустот, усилятся и вследствие резонанса будут слышимы.

Фонокардиография

Применяется для диагностики состояния сердечной деятельности. Метод заключается в графической регистрации тонов и шумов сердца и их диагностической интерпретации. Фонокардиограф состоит из микрофона, усилителя, системы частотных фильтров и регистрирующего устройства.

9. Ультразвуковые методы исследования (УЗИ) в медицинской диагностике.

1) Методы диагностики и исследования

Относят локационные методы с использованием главным образом импульсивного излучения. Это эхоэнцефалография – определение опухолей и отека головного мозга. Ультразвуковая кардиография – измерение размеров сердца в динамике; в офтальмологии – ультразвуковая локация для определения размеров глазных сред.

2)Методы воздействия

Ультразвуковая физиотерапия – механическое и тепловое воздействие на ткань.

11. Ударная волна. Получение и использование ударных волн в медицине.
Ударная волна – поверхность разрыва, которая движется относительно газа и при пересечении которой давление, плотность, температура и скорость испытывают скачок.
При больших возмущениях (взрыв, сверхзвуковое движение тел, мощный электрический разряд и т.п.) скорость колеблющихся частиц среды может стать сравнимой со скоростью звука, возникает ударнаяволна .

Ударная волна может обладать значительной энергией , так, при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50% энергии взрыва. Поэтому ударная волна, достигая биологических и технических объектов, способна причинить смерть, увечья и разрушения.

В медицинской технике используются ударные волны , представляющие собой чрезвычайно короткий, мощный импульс давления с высокими амплитудами давления и малой компонентой растяжения. Они генерируются вне тела пациента и передаются вглубь тела, производя терапевтический эффект, предусмотренный специализацией модели оборудования: дробление мочевых камней, лечение болевых зон и последствий травм опорно-двигательного аппарата, стимуляцию восстановления сердечной мышцы после инфаркта миокарда, разглаживание целлюлитных образований и т. д.

§ 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний

где х - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t - время; А, ω, φ- соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в моментt .

Угловая частота колебаний

где ν и Т - частота и период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

Ускорение при гармоническом колебании

Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где a 1 и А 2 - амплитуды составляющих колебаний; φ 1 и φ 2 - их начальные фазы.

Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν 1 и ν 2 ,

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A 1 и A 2 и начальными фазами φ 1 и φ 2 ,

Если начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки

, или ,где m - масса точки; k - коэффициент квазиупругой силы (k =т ω 2).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

где m - масса тела; k - жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси

колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

Приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не болееошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний , или ,

где r - коэффициент сопротивления; δ - коэффициент затухания: ;ω 0 - собственная угловая частота колебаний *

Уравнение затухающих колебаний

где A (t) - амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω - их угловая частота.

Угловая частота затухающих колебаний

О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

где А 0 - амплитуда колебаний в момент t =0.

Логарифмический декремент колебаний

где A (t) и A (t+T) - амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где - внешняя периодическая сила, действующая наколеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F 0 - ее амплитудное значение;

Амплитуда вынужденных колебаний

Резонансная частота и резонансная амплитуда и

Примеры решения задач

Пример 1. Точка совершает колебания по закону x(t)= , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если

x (0)=см их , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо- мента t =0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t =0 через начальную фазу:

Отсюда найдем начальную фазу:

* В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто ω (без индекса 0).

Подставим в это выражение заданные значения x (0) и А: φ= =. Значению аргументаудовлетворяютдва значения угла:

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлет- воряет еще и условию , найдем сначала:

Подставив в это выражение значение t =0 и поочередно значения начальных фаз и, найдем

Так как всегдаA >0 и ω>0, то условиюудовлетворяет только первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза

По найденному значению φ постро- им векторную диаграмму (рис. 6.1). Пример 2. Материальная точка массой т =5 г совершает гармоничес- кие колебания с частотой ν =0,5 Гц. Амплитуда колебаний A =3 см. Оп- ределить: 1) скорость υ точки в мо- мент времени, когда смещение х= = 1,5 см; 2) максимальную силу F max , действующую на точку; 3) Рис. 6.1 полную энергию Е колеблющейся точ ки.

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А 2 , второе на A 2 ω 2 и сложим:

, или

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус - когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:

где а - ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

Отсюда максимальное значение силы

Подставив в это уравнение значения величин π, ν, т и A, найдем

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия E колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив : . Подставив выражение скорости в фор-мулу (4), найдем

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления, получим

или мкДж.

Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m 3 =400 г укреплены шарики малых размеров массами m 1 =200 г и m 2 =300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен-

дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

гдеJ - т - его масса; l С - расстояние от центра масс маятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J 1 и J 2 и стержня J 3:

Принимая шарики за материальные точки, выразим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси J 3 = =. Подставив полученные выражения J 1 , J 2 и J 3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи- зического маятника:

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

Рис. 6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:

Расстояние l С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое расстояние l равно координате центра масс маятника, т. е.

Подставив значения величин m 1 , m 2 , m , l и произведя вычисления, найдем

Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l = 1 м и массой 3т 1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром и массойт 1 . Горизонтальная ось Oz

маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле

(1)

где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; т - его масса; l C - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J 1 и обруча J 2:

(2).

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по форму- ле . В данном случает= 3т 1 и

Момент инерции обруча найдем, восполь- зовавшись теоремой Штейнера ,где J - момент инерции относительно про- извольной оси; J 0 - момент инерции отно- сительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; а - расстояние между указанными осями. Применив эту фор- мулу к обручу, получим

Подставив выражения J 1 и J 2 в формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:

Расстояние l С от оси маятника до его центра масс равно

Подставив в формулу (1) выражения J , l с и массы маятника , найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим T =2,17 с.

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направле- ния, выражаемых уравнениями ;х 2 = =, гдеА 1 = 1 см, A 2 =2 см, с,с,ω = =. 1. Определить начальные фазыφ 1 и φ 2 составляющих коле-

баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

Рад и рад.

2. Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Согласно теореме косинусов, получим

где - разность фаз составляющих колебаний.Так как , то, подставляя найденныезначения φ 2 и φ 1 получим рад.

Подставим значения А 1 , А 2 и в формулу(3) и произведем вычисления:

A = 2,65 см.

Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания опреде- лим непосредственно из рис. 6.4: ,отку- да начальная фаза

Механическое гармоническое колебание - это прямолинейное неравномерное движение, при котором координаты колеблющегося тела (материальной точки) изменяются по закону косинуса или синуса в зависимости от времени.

Согласно этому определению, закон изменения координаты в зависимости от времени имеет вид:

Где wt - величина под знаком косинуса или синуса; w - коэффициент, физический смысл которого раскроем ниже; А - амплитуда механических гармонических колебаний.

Уравнения (4.1) являются основными кинематическими уравнениями механических гармонических колебаний.

Рассмотрим следующий пример. Возьмем ось Ох (рис. 64). Из точки 0 проведем окружность с радиусом R = А. Пусть точка М из положения 1 начинает двигаться по окружности с постоянной скоростью v (или с постоянной угловой скоростью w , v = wА ). Через некоторое время t радиус повернется на угол ф: ф=wt .

При таком движении по окружности точки М ее проекция на ось х М х будет совершать движение вдоль оси х, координата которой х будет равна х = А cos ф = = А cos wt . Таким образом, если материальная точка движется по окружности радиусом А, центр которой совпадает с началом координат, то проекция этой точки на ось х (и на ось у) будет совершать гармонические механические колебания.

Если известна величина wt, которая стоит под знаком косинуса, и амплитуда А, то можно определить и х в уравнении (4.1).

Величину wt, стоящую под знаком косинуса (или синуса), однозначно определяющую координату колеблющейся точки при заданной амплитуде, называют фазой колебания . Для точки М, движущейся по окружности, величина w означает ее угловую скорость. Каков физический смысл величины w для точки М х, совершающей механические гармонические колебания? Координаты колеблющейся точки М х одинаковы в некоторый момент времени t и (Т +1) (из определения периода Т), т. е. A cos wt = A cos w (t + Т), а это значит, что w (t + Т) - wt = 2ПИ (из свойства периодичности функции косинуса). Отсюда следует, что

Следовательно, для материальной точки, совершающей гармонические механические колебания, величину w можно интерпретировать как количество колебаний за определенный цикл времени, равный 2л . Поэтому величину w назвали циклической (или круговой) частотой .

Если точка М начинает свое движение не из точки 1 а из точки 2, то уравнение (4,1) примет вид:

Величину ф 0 называют начальной фазой .

Скорость точки М х найдем как производную от координаты по времени:

Ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону, определим как производную от скорости:

Из формулы (4.4) видно, что скорость точки, совершающей гармонические колебания, изменяется тоже по закону косинуса. Но скорость по фазе опережает координату на ПИ/2 . Ускорение при гармоническом колебании изменяется по закону косинуса, но опережает координату по фазе на п . Уравнение (4.5) можно записать через координату х:

Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально смещению с противоположным знаком. Умножим правую и левую части уравнения (4.5) на массу колеблющей материальной точки т, получим соотношения:

Согласно второму закону Ньютона, физический смысл правой части выражения (4.6) есть проекция силы F x , которая обеспечивает гармоническое механическое движение:

Величина F x пропорциональна смещению х и направлена противоположно ему. Примером такой силы является сила упругости, величина которой пропорциональна деформации и противоположно ей направлена (закон Гука).

Закономерность зависимости ускорения от смещения, вытекающую из уравнения (4.6), рассмотренную нами для механических гармонических колебаний, можно обобщить и применить при рассмотрении колебаний другой физической природы (например, изменение тока в колебательном контуре, изменение заряда, напряжения, индукции магнитного поля и т. д.). Поэтому уравнение (4.8) называют основным уравнением динамики гармонических колебаний .

Рассмотрим движение пружинного и математического маятников.

Пусть к пружине (рис. 63), расположенной горизонтально и закрепленной в точке 0, одним концом прикреплено тело массой т, которое может перемещаться вдоль оси х без трения. Коэффициент жесткости пружины пусть будет равен k. Выведем тело m внешней силой из положения равновесия и отпустим. Тогда вдоль оси х на тело будет действовать только упругая сила, которая согласно закону Гука, будет равна: F yпp = -kx.

Уравнение движения этого тела будет иметь вид:

Сравнивая уравнения (4.6) и (4.9), делаем два вывода:

Из формул (4.2) и (4.10) выводим формулу для периода колебаний груза на пружине:

Математическим маятником называется тело массой т, подвешенное на длинной нерастяжимой нити пренебрежимо малой массы. В положении равновесия на это тело будут действовать сила тяжести и сила упругости нити. Эти силы будут уравновешивать друг друга.

Если нить отклонить на угол а от положения равновесия, то на тело действуют те же силы, но они уже не уравновешивают друг друга, и тело начинает двигаться по дуге под действием составляющей силы тяжести, направленной вдоль касательной к дуге и равной mg sin a .

Уравнение движения маятника принимает вид:

Знак минус в правой части означает, что сила F x = mg sin a направлена против смещения. Гармоническое колебание будет происходить при малых углах отклонения, т. е. при условии а 2* sin a .

Заменим sin а в уравнении (4.12), получим следующее уравнение.

Колебательным называется любое периодически повторяющееся движение. Поэтому зависимости координаты и скорости тела от времени при колебаниях описываются периодическими функциями времени. В школьном курсе физики рассматриваются такие колебания, в которых зависимости и скорости тела представляют собой тригонометрические функции , или их комбинацию, где - некоторое число. Такие колебания на-зываются гармоническими (функции и часто называют гармоническими функциями). Для решения задач на колебания, входящих в программу единого государственного экзамена по физике, нужно знать определения основных характеристик колебательного движения: амплитуды, периода, частоты, круговой (или циклической) частоты и фазы колебаний. Дадим эти определения и свяжем перечисленные величины с параметрами зависимости координаты тела от времени , которая в случае гармонических колебаний всегда может быть представлена в виде

где , и - некоторые числа.

Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Поскольку максимальное и минимальное значение косинуса в (11.1) равно ±1, то амплитуда колебаний тела, совершающего колебания (11.1), равна величине . Период колебаний - это минимальное время, через которое движение тела повторяется. Для зависимости (11.1) период можно установить из следующих соображений. Косинус - периодическая функция с периодом . Поэтому движение полностью повторяется через такое значение , что . Отсюда получаем

Круговой (или циклической) частотой колебаний называется число колебаний, совершаемых за единиц времени. Из формулы (11.3) заключаем, что круговой частотой является величина из формулы (11.1).

Фазой колебаний называется аргумент тригонометрической функции, описывающей зависимость координаты от времени. Из формулы (11.1) видим, что фаза колебаний тела, движение которого описывается зависимостью (11.1), равна . Значение фазы колебаний в момент времени = 0 называется начальной фазой. Для зависимости (11.1) начальная фаза колебаний равна величине . Очевидно, начальная фаза колебаний зависит от выбора начала отсчета времени (момента = 0), которое всегда является условным. Изменением начала отсчета времени начальная фаза колебаний всегда может быть «сделана» равной нулю, а синус в формуле (11.1) «превращен» в косинус или наоборот.

В программу единого государственного экзамена входит также знание формул для частоты колебаний пружинного и математического маятников. Пружинным маятником принято называть тело, которое может совершать колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием пружины, второй конец которой закреплен (левый рисунок). Математическим маятником называется массивное тело, размерами которого можно пренебречь, совершающее колебания на длинной, невесомой и нерастяжимой нити (правый рисунок). Название этой системы – «математический маятник» связано с тем, что она представляет собой абстрактную математическую модель реального (физического ) маятника. Необходимо помнить формулы для периода (или частоты) колебаний пружинного и математического маятников. Для пружинного маятника

где - длина нити, - ускорение свободного падения. Рассмотрим применение этих определений и законов на примере решения задач.

Чтобы найти циклическую частоту колебаний груза в задаче 11.1.1 найдем сначала период колебаний, а затем воспользуемся формулой (11.2). Поскольку 10 м 28 с - это 628 с, и за это время груз совершает 100 колебаний, период колебаний груза равен 6,28 с. Поэтому циклическая частота колебаний равна 1 c -1 (ответ 2 ). В задаче 11.1.2 груз за 600 с совершил 60 колебаний, поэтому частота колебаний - 0,1 с -1 (ответ 1 ).

Чтобы понять, какой путь пройдет груз за 2,5 периода (задача 11.1.3 ), проследим за его движением. Через период груз вернется назад в точку максимального отклонения, совершив полное колебание. Поэтому за это время груз пройдет расстояние, равное четырем амплитудам: до положения равновесия - одна амплитуда, от положения равновесия до точки максимального отклонения в другую сторону - вторая, назад в положение равновесия - третья, из положения равновесия в начальную точку - четвертая. За второй период груз снова пройдет четыре амплитуды, а за оставшиеся половину периода - две амплитуды. Поэтому пройденный путь равен десяти амплитудам (ответ 4 ).

Величина перемещения тела - расстояние от начальной точки до конечной. За 2,5 периода в задаче 11.1.4 тело успеет совершить два полных и половину полного колебания, т.е. окажется на максимальном отклонении, но с другой стороны от положения равновесия. Поэтому величина перемещения равна двум амплитудам (ответ 3 ).

По определению фаза колебаний - это аргумент тригонометрической функции, которой описывается зависимость координаты колеблющегося тела от времени. Поэтому правильный ответ в задаче 11.1.5 - 3 .

Период - это время полного колебания. Это значит, что возвращение тела назад в ту же точку, из которой тело начало движение, еще не означает, что прошел период: тело должно вернуться в ту же точку с той же скоростью. Например, тело, начав колебания из положения равновесия, за период успеет отклониться на максимальную величину в одну сторону, вернуться назад, отклонится на максимум в другую сторону и снова вернуться назад. Поэтому за период тело успеет два раза отклониться на максимальную величину от положения равновесия и вернуться обратно. Следовательно, на прохождение от положения равновесия до точки максимального отклонения (задача 11.1.6 ) тело затрачивает четвертую часть периода (ответ 3 ).

Гармоническими называются такие колебания, при которых зависимость координаты колеблющегося тела от времени описывается тригонометрической (синус или косинус) функцией времени. В задаче 11.1.7 таковыми являются функции и , несмотря на то, что входящие в них параметры обозначены как 2 и 2 . Функция же - тригонометрическая функция квадрата времени. Поэтому гармоническими являются колебания только величин и (ответ 4 ).

При гармонических колебаниях скорость тела изменяется по закону , где - амплитуда колебаний скорости (начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний равнялась бы нулю). Отсюда находим зависимость кинетической энергии тела от времени
(задача 11.1.8 ). Используя далее известную тригонометрическую формулу, получаем

Из этой формулы следует, что кинетическая энергия тела изменяется при гармонических колебаниях также по гармоническому закону, но с удвоенной частотой (ответ 2 ).

За соотношением между кинетической энергий груза и потенциальной энергией пружины (задача 11.1.9 ) легко проследить из следующих соображений. Когда тело отклонено на максимальную величину от положения равновесия, скорость тела равна нулю, и, следовательно, потенциальная энергия пружины больше кинетической энергии груза. Напротив, когда тело проходит положение равновесия, потенциальная энергия пружины равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия больше потенциальной. Поэтому между прохождением положения равновесия и максимальным отклонением кинетическая и потенциальная энергия один раз сравниваются. А поскольку за период тело четыре раза проходит от положения равновесия до максимального отклонения или обратно, то за период кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины сравниваются друг с другом четыре раза (ответ 2 ).

Амплитуду колебаний скорости (задача 11.1.10 ) проще всего найти по закону сохранения энергии. В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины , где - коэффициент жесткости пружины, - амплитуда колебаний. При прохождении положения равновесия энергия тела равна кинетической энергии , где - масса тела, - скорость тела при прохождении положения равновесия, которая является максимальной скоростью тела в процессе колебаний и, следовательно, представляет собой амплитуду колебаний скорости. Приравнивая эти энергии, находим

(ответ 4 ).

Из формулы (11.5) заключаем (задача 11.2.2 ), что от массы математического маятника его период не зависит, а при увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза (ответ 1 ).

Часы - это колебательный процесс, который используется для измерения интервалов времени (задача 11.2.3 ). Слова часы «спешат» означают, что период этого процесса меньше того, каким он должен быть. Поэтому для уточнения хода этих часов необходимо увеличить период процесса. Согласно формуле (11.5) для увеличения периода колебаний математического маятника необходимо увеличить его длину (ответ 3 ).

Чтобы найти амплитуду колебаний в задаче 11.2.4 , необходимо представить зависимость координаты тела от времени в виде одной тригонометрической функции. Для данной в условии функции это можно сделать с помощью введения дополнительного угла. Умножая и деля эту функцию на и используя формулу сложения тригонометрических функций, получим

где - такой угол, что . Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний тела - (ответ 4 ).

Гармонические колебания

Графики функций f (x ) = sin(x ) и g (x ) = cos(x ) на декартовой плоскости.

Гармоническое колебание - колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения - есть гармоническое колебание с циклической частотой )

Виды колебаний

Эволюция во времени перемещения, скорости и ускорения при гармоническом движении

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

Применение

Гармонические колебания выделяются из всех остальных видов колебаний по следующим причинам:

См. также

Примечания

Литература

Физика. Элементарный учебник физики / Под ред. Г. С. Лансберга. - 3 изд. - М ., 1962. - Т. 3.
Хайкин С. Э. Физические основы механики. - М ., 1963.
А. М. Афонин. Физические основы механики. - Изд. МГТУ им. Баумана, 2006.
Горелик Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. - М .: Физматлит, 1959. - 572 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Гармонические колебания" в других словарях:

Современная энциклопедия

Гармонические колебания - ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, периодические изменения физической величины, происходящие по закону синуса. Графически гармонические колебания изображаются кривой синусоидой. Гармонические колебания простейший вид периодических движений, характеризуется … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Графически Г. к. изображаются кривой синусоидой или косинусоидой (см. рис.); они могут быть записаны в форме: х = Asin (ωt + φ) или х … Большая советская энциклопедия

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, периодическое движение, такое как движение МАЯТНИКА, атомные колебания или колебания в электрической цепи. Тело совершает незатухающие гармонические колебания, когда оно колеблется вдоль линии, перемещаясь на одинаковое… … Научно-технический энциклопедический словарь

Колебания, при к рых физ. (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному закону: x=Asin(wt+j), где x значение колеблющейся величины в данный. момент времени t (для механич. Г. к., напр., смещение или скорость, для… … Физическая энциклопедия

гармонические колебания - Механические колебания, при которых обобщенная координата и (или) обобщенная скорость изменяются пропорционально синусу с аргументом, линейно зависящим от времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук … Справочник технического переводчика

Колебания, при к рых физ. (или любая другая) величина изменяется во времени по синусоидальному закону, где х значение колеблющейся величины в момент времени t (для механич. Г. к., напр., смещение и скорость, для электрич. напряжение и сила тока) … Физическая энциклопедия

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - (см.), при которых физ. величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса (напр. изменения (см.) и скорости при колебании (см.) или изменения (см.) и силы тока при электрических Г. к.) … Большая политехническая энциклопедия

Характеризуются изменением колеблющейся величины x (напр., отклонения маятника от положения равновесия, напряжения в цепи переменного тока и т. д.) во времени t по закону: x = Asin (?t + ?), где А амплитуда гармонических колебаний, ? угловая… … Большой Энциклопедический словарь

Гармонические колебания - 19. Гармонические колебания Колебания, при которых значения колеблющейся величины изменяются во времени по закону Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Периодич. колебания, при к рых изменение во времени физ. величины происходит по закону синуса или косинуса (см. рис.): s = Аsin(wt+ф0), где s отклонение колеблющейся величины от её ср. (равновесного) значения, А=const амплитуда, w= const круговая … Большой энциклопедический политехнический словарь